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1 線性插值

線性插值是指插值函數(shù)為一次多項式的插值方式，其在插值節(jié)點上的插值誤差為零。

線性插值相比其他插值方式，如拋物線插值，具有簡單、方便的特點。

線性插值的幾何意義即為概述圖中利用過A點和B點的直線來近似表示原函數(shù)。

線性插值可以用來近似代替原函數(shù)，也可以用來計算得到查表過程中表中沒有的數(shù)值。

1.2 基礎(chǔ)知識

已知函數(shù)在區(qū)間上個互異點上的函數(shù)值，若存在一簡單函數(shù)，使

并要求誤差

的絕對值在整個區(qū)間上比較小。這樣的問題稱為插值問題。

其中：

：插值節(jié)點

：被插值函數(shù)

：插值函數(shù)

：插值區(qū)間

如果在插值區(qū)間內(nèi)部用代替則稱為內(nèi)插；在插值區(qū)間以外，用代替則稱為外插。

1.3 簡介

線性插值是一種較為簡單的插值方法，其插值函數(shù)為一次多項式。線性插值，在各插值節(jié)點上插值的誤差為0。

設(shè)函數(shù)在兩點，上的值分別為，，求多項式

使?jié)M足

由解析幾何可知

稱為在處的一階均差，記以。于是，得

如果按照整理，則

以上插值多項式為一次多項式，這種插值稱為線性插值。

1.4 幾何意義

線性插值的幾何意義如圖1所示，即為利用過點和的直線來近似原函數(shù)。

1.5 應(yīng)用

1）線性插值在一定允許誤差下，可以近似代替原來函數(shù)；

2）在查詢各種數(shù)值表時，可通過線性插值來得到表中沒有的數(shù)值。

2一維線性插值仿真實例

首先，在Baltamulink中，添加輸出正弦波模塊、一維插值模塊、信號合并模塊、輸出模塊，建立一維插值仿真模型，每個模塊參數(shù)都設(shè)置為默認(rèn)值；模型如下圖所示；

設(shè)置仿真參數(shù)：

仿真時長：10s；步長0.01s；求解器：ode4

得到的仿真結(jié)果，如下圖所示：

綠色代表原正弦波數(shù)據(jù)；

橙色表示一維插值后的正弦波數(shù)據(jù)。

      已知質(zhì)量塊質(zhì)量 m = 1kg，阻尼 b = 3 N.s/m，彈簧系數(shù) k = 90 N/m，且物塊的初始位移 x(0) = 0.04m，其初始速度為x’(0) = 0.01 m/s。創(chuàng)建該系統(tǒng)的北太真元模型，并運行仿真。彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)如下圖所示：

建立理論數(shù)學(xué)模型。對于無外力的系統(tǒng)，根據(jù)牛頓定理可以得到：

mx’’ + bx’ + kx = 0

代入數(shù)值并整理得：

x’’ = -3x’ - 90x

在北太真元建立模型如下圖所示：

設(shè)置仿真參數(shù)：

仿真時長：10s；步長0.01s；求解器：ode4

得到的仿真結(jié)果，如下圖所示：

      已知二自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼串聯(lián)系統(tǒng)模型如下圖所示：

      這個系統(tǒng)由兩個質(zhì)量塊（小車）和三組彈簧阻尼器組成，假設(shè)地面是光滑的，這樣系統(tǒng)中沒有摩擦作用。 u1(t) 和 u2(t) 分別是兩個質(zhì)量塊所受的外力， x1(t) 和 x2(t) 分別是兩個質(zhì)量塊的位移。 m1,2、k1,2,3 和 b1,2,3 分別對應(yīng)圖中的質(zhì)量、彈簧剛度和阻尼系數(shù)。是對于整個系統(tǒng)而言，輸入兩個外力，輸出兩個位移，因此這是一個多輸入多輸出系統(tǒng)。兩個小車都只能沿橫向左右運動，因此為二自由度系統(tǒng)。

根據(jù)牛頓第二定律，物體所受合力等于物體的慣性力，而慣性力是物體質(zhì)量與加速度的乘積?？梢岳斫鉃槲矬w受力后產(chǎn)生加速度，而有加速度存在就會產(chǎn)生運動趨勢，造成物體運動。

對兩個質(zhì)量塊分別進(jìn)行受力分析：

首先需定義系統(tǒng)的狀態(tài)變量，在這種情況下一般用物體的位移和速度作為狀態(tài)變量。設(shè)狀態(tài)向量 Z分別對應(yīng)質(zhì)量塊1的位移和速度、質(zhì)量塊2的質(zhì)量和速度:

根據(jù)上面對模型的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，當(dāng)將各狀態(tài)向量 z 對時間求導(dǎo)（微分），可以將系統(tǒng)整理為各狀態(tài)量的一階微分方程組：

因為這是一個線性系統(tǒng)，因此系統(tǒng)的狀態(tài)可以表示為矩陣形式：

式中，A 為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣；B 為輸入矩陣；u 為輸入（控制）向量：

      有了系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程，接下來考慮系統(tǒng)的輸出，也就是我們希望得到的量。我們假設(shè)對兩個質(zhì)量塊的位移感興趣，即 z1 和 z3 ，那么就將它兩個狀態(tài)作為系統(tǒng)的輸出，則輸出方程的矩陣形式為：y = Cz;

式中，y 為輸出向量；C 為輸出矩陣：

以上，使用狀態(tài)空間模型對系統(tǒng)完成描述。

令，質(zhì)量：m = 1kg；彈簧剛度： k = 1N/m；阻尼系數(shù)：b = 1N.s/m。

則，狀態(tài)空間方程系數(shù)如下：

A = [0 1 0 0;-2 -2 1 1;0 0 0 1;1 1 -2 -2];

B = [0 0;1 0;0 0;0 1];

C = [1 0 0 0;0 0 1 0];

D = [0 0;0 0];

在北太真元建立模型如下圖所示：

設(shè)置仿真參數(shù)：

兩個質(zhì)量塊所受的外力u1是常量模塊 = 2 N； u2是階躍型號=1N。

仿真時長：10s；步長0.01s；求解器：ode4

得到的仿真結(jié)果，如下圖所示：

求解二階微分方程：x’’(t) + 0.4x’(t) + 0.9x(t) = 0.7u(t) 的解，其中u(t)是脈沖信號。

在北太真元建立模型如下圖所示：

設(shè)置仿真參數(shù)：

脈沖信號u(t)為方波信號模塊，參數(shù)振幅 = 1；周期 = 2.5；脈沖寬度 = 50；相位 = 0；

仿真時長：10s；步長0.01s；求解器：ode4

得到的仿真結(jié)果，如下圖所示：

力——質(zhì)量系統(tǒng)，要拉動一個箱子（拉力f=1N），箱子質(zhì)量為M（1kg），箱子與地面的摩擦力為[(b=0.4N.m/s)]，其大小與車子的速度成正比。如下圖所示：

其運動方程式為：

F - bx’ = Mx’’

拉力作用時間為2s。

在北太真元建立模型如下圖所示：

設(shè)置仿真參數(shù)：

設(shè)置stepInputOne模塊的階躍時間為0，表示摩擦力作用時間；

設(shè)置stepInputTwo模塊的階躍時間為2，表示拉力作用時間；

設(shè)置gainTwo模塊的增益值為0.4表示摩擦力；

仿真時長：10s；步長0.01s；求解器：ode4

得到的仿真結(jié)果，如下圖所示：

因為有摩擦力存在，箱子最終會停止前進(jìn)。

零極點增益模型實際上是傳遞函數(shù)的另一種表現(xiàn)形式，其原理是分別對源系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子、分母進(jìn)行因式分解處理，以獲得系統(tǒng)零點和幾點的表示形式。

式中，k為系統(tǒng)增益；zi(i = 1,2,3,...,m)為分子多項式的根，稱為系統(tǒng)的零點；pj(j = 1,2,...,n)是分母多項式的根，稱為系統(tǒng)的極點。

傳遞函數(shù)的分母多項式就是它的特征多項式，它等于零的方程就是傳遞函數(shù)的特征方程，特征方程的根也就是傳遞函數(shù)的極點。傳遞函數(shù)的極點決定了所描述系統(tǒng)的自由運動狀態(tài)；零點影響系統(tǒng)各模態(tài)在系統(tǒng)響應(yīng)中的比重。

零點增益模型的命令格式如下：

ZPG = zpk(z, p, k)

其中ZPG是建立的零極點增益模型；z、p、k分別是系統(tǒng)的零點向量、極點向量和增益。

例：利用Baltamulink建立系統(tǒng)

G(s) = 18(s + 2) / (s + 0.4)(s + 15)(s + 25)

的零點增益模型，進(jìn)行系統(tǒng)仿真。

將上面零點增益模型進(jìn)行轉(zhuǎn)換得到模型的傳遞函數(shù)如下：

G(s) = 18(s + 2)/(s^3 + 40.4s^2 + 391s + 150)

根據(jù)該傳遞函數(shù)模型，在北太真元建立模型如下圖所示：

設(shè)置仿真參數(shù)：

仿真時長：20s；步長0.01s；求解器：ode4

得到的仿真結(jié)果，如下圖所示：

針對標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)：

改變ζ（阻尼比）和ωn（自由振蕩頻率）的參數(shù)設(shè)置，觀察對系統(tǒng)輸出的影響。

在二階系統(tǒng)自由振蕩頻率ωn不變的情況下，改變阻尼系數(shù)ζ為無阻尼（ζ= 0）、欠阻尼（0<ζ< 1）、臨界阻尼（ζ= 1）和過阻尼（ζ> 1）的4中狀態(tài)，分別取ζ= 0，ζ= 0.5，ζ= 1，ζ= 2帶入二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)  中，搭建4個不同的仿真模型，輸出結(jié)果，觀察仿真結(jié)果得出結(jié)論。

根據(jù)該傳遞函數(shù)模型，在北太真元建立模型如下圖所示：

設(shè)置仿真參數(shù)：

從上到下，傳遞函數(shù)參數(shù)依次為：

num = [4]；den = [1 0 4]；

num = [4]；den = [1 2 4]；

num = [4]；den = [1 4 4]；

num = [4]；den = [1 8 4]；

階躍信號模塊的階躍時間為0；

仿真時長：6s；步長0.01s；求解器：ode4

得到的仿真結(jié)果，如下圖所示：

結(jié)論：從仿真結(jié)果可以看出，改變阻尼比，系統(tǒng)的超調(diào)量也在變化，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時間也發(fā)生變化。當(dāng)ζ= 0無阻尼時，出現(xiàn)等幅振蕩曲線，超調(diào)量為100%，穩(wěn)態(tài)時間為無窮大；當(dāng)ζ< 1時，信號曲線衰減振蕩，有超調(diào)量；當(dāng)ζ≥ 1時，沒有超調(diào)量，隨著ζ增大，達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時間也增大。

已知開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)：

首先將G(s)化為唯一標(biāo)準(zhǔn)形式：

此系統(tǒng)由比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)共5個環(huán)節(jié)組成。

慣性環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率：

一階復(fù)合微分環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率：

振蕩環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率：

開環(huán)增益：K=4，積分環(huán)節(jié)數(shù)v=1，低頻起始段由K/s=4/s決定。

根據(jù)該傳遞函數(shù)模型，在北太真元建立模型如下圖所示：

設(shè)置仿真參數(shù)：

從上到下，傳遞函數(shù)參數(shù)依次為：

num = [1]；den = [1 0]；

num = [1]；den = [1 0.5]；

num = [64 128]；den = [1 3.2 64]；

仿真時長：10s；步長0.01s；求解器：ode4

得到的仿真結(jié)果，如下圖所示：

已知某系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性如下圖所示，試確定其開環(huán)傳遞函數(shù)。

根據(jù)對數(shù)幅頻特性曲線，可以寫出開環(huán)傳遞函數(shù)的表達(dá)形式如下：

根據(jù)對數(shù)頻率特性的坐標(biāo)特點有，可以確定開環(huán)增益。

根據(jù)相頻特性的變化趨勢（-270°-> -90°），可以判定系統(tǒng)為非最小相角系統(tǒng)。

G(s)中一階復(fù)合微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)至少有一個是“非最小相角”的，將系統(tǒng)可能的開環(huán)零點極點分布畫出來，如下表所示：

分析相角的變化趨勢，可見，只有當(dāng)慣性環(huán)節(jié)極點在右半s平面，一階復(fù)合微分環(huán)節(jié)零點在左半s平面是，相角才符合從-270°到-90°的變化規(guī)律。因此可以確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

對于最小相角系統(tǒng)，對數(shù)幅頻特性與對數(shù)相頻特性之間存在唯一確定的對應(yīng)關(guān)系，根據(jù)對數(shù)幅頻特性就完全可以確定相應(yīng)的對數(shù)相頻特性和傳遞函數(shù)，反之亦然。由于對數(shù)幅頻特性容易繪制，所以在分析最小相角系統(tǒng)時，通常只畫其對數(shù)幅頻特性，對數(shù)相頻特性則只需概略畫出，或者不畫。

根據(jù)該傳遞函數(shù)模型，在北太真元搭建最小相角系統(tǒng)模型如下圖所示：

設(shè)置仿真參數(shù)：

從上到下，傳遞函數(shù)參數(shù)依次為：

num = [1]；den = [1 0]；

num = [1 1]；den = [1 -1]；

仿真時長：10s；步長0.01s；求解器：ode4

得到的仿真結(jié)果，如下圖所示：

控制系統(tǒng)穩(wěn)定與否是絕對穩(wěn)定性的概念。而對一個穩(wěn)定的系統(tǒng)而言，還有一個穩(wěn)定的程度，即相對穩(wěn)定性的概念。相對穩(wěn)定性與系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)有著密切的關(guān)系。在設(shè)計一個控制系統(tǒng)時，不僅要求它必須是絕對穩(wěn)定的，而且還應(yīng)保證系統(tǒng)具有一定的穩(wěn)定程度。只有這樣，才能不致因系統(tǒng)參數(shù)變化而導(dǎo)致系統(tǒng)性能變差甚至不穩(wěn)定。

對于一個最小相角系統(tǒng)而言，曲線越靠近點，系統(tǒng)階躍響應(yīng)的振蕩就越強(qiáng)烈，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性就越差。因此，可用曲線對點的接近程度來表示系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。通常，這種接近程度是以相角裕度和幅值裕度來表示的。

要計算相角裕度，首先要知道截止頻率。求較方便的方法是先由繪制曲線，由與線的交點確定。而求幅值裕度首先要知道相角交界頻率，對于階數(shù)不太高的系統(tǒng)，直接解三角方程是求較方便的方法。通常是將寫成虛部和實部， 令虛部為零而解得。

【例6-10】 某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

試求時系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度。將該開環(huán)傳遞函數(shù)變換為：

在實際工程設(shè)計中，只要繪出曲線即可。

根據(jù)該傳遞函數(shù)模型，在北太真元搭建穩(wěn)定裕度系統(tǒng)模型如下圖所示：

設(shè)置仿真參數(shù)：

從上到下，傳遞函數(shù)參數(shù)依次為：

num = [52]；den = [1 0]；

num = [1]；den = [1 1]；

num = [1]；den = [1 5]；

仿真時長：10s；步長0.1s；求解器：ode4

得到的仿真結(jié)果，如下圖所示：